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洛希极限的计算方法

March 6, 2020 • 物理

洛希极限公式的导出

假设卫星和其环绕的行星均为球体,且除了两者的引力外无其他力。
$u$为卫星表面最接近行星的细质量(即两球心连线与卫星球面相交处)。对于该细质量$u$有两股作用力,即:

卫星对它的引力及行星对它的引力(因为卫星在行星的引力场内自由降落,潮汐力与行星引力意义相同)。

设$F_G$为卫星作用在$u$上的引力,根据牛顿老爷子的万有引力定律,
$$F_G={{Gmu} \over r^2}$$
设$d$为行星、卫星两球心的距离,$R$为行星半径$F_T$为行星作用于$u$的潮汐力,
$$F_T={{2GMur} \over d^3}$$
当卫星处于洛希极限时,有
$$F_G=F_T$$

$${Gmu \over r^2}={2GMur \over d^3}$$
由此易得
$$d=r(2M/m)^{1 \over 3}$$
到这里可以说已经完成了公式的推导,但我们可以进一步的采用密度这一变量来替换质量。

简单地利用一下初中的知识,我们可以轻易的将球体的质量表示出来:

  • 行星的质量

$$M={4π\rho_MR^3}/3$$

  • 卫星的质量

$$m={4π\rho_mr^3}/3$$
将上述两个等式代入我们刚刚推导出的公式,得到
$$d=r\left({2\rho_MR^3} \over {\rho_mr^3}\right)^{1/3}$$
整理化简后
$$d=R\left(2{\rho_M \over \rho_m}\right)^{1/3}$$
上式即为最终公式。

洛希极限的计算方法

假设$d$为洛希极限。
根据刚刚得到的公式我们可知理想条件下洛希极限约为
$$d\approx1.260R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$$
(此处的理想条件指该卫星完全刚体、圆球形,其物质完全因重力(万有引力)合在一起的,且它所环绕的行星亦为圆球形,并忽略其他因素如潮汐变形及自转)

对于是流体的卫星,潮汐力会拉长它(物体的面条化),故在同条件下,它的洛希极限大于刚刚计算的结果,约为
$$d\approx2.423R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$$
因多种因素影响(如粘度、化学键、摩擦力等)大多数卫星都不完全是刚体或流体,故其洛希半径在两者之间。

其他情况

观察刚刚得到的公式,当$\rho_m$是$\rho_M$的二倍时,洛希半径$d=R$,即在行星表面。

当$\rho_m$是$\rho_M$的二倍以上时,我们可以知道洛希半径在行星的内部,那么此卫星永远不会因所环绕的行星的引力而破裂。


  • 本文参考以下文献或资料:
维基百科-洛希极限
中国知网-《洛希极限:天体是否被撕碎的关键词》
Last Modified: March 17, 2020
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4 Comments
    1. @yuaneuro@(呵呵)

  1. 宇宙一直在红移,这像不像一个小孩子在发育长大....@(太阳)

    1. @今生@(真棒)