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牛顿的圆周率求法

June 12, 2021 • 数学

割圆法

割圆法分两种,一是面积逼近,二是周长逼近。

刘徽使用圆面积与内外两多边形面积愈加接近且介于二者之间的方法来得出较为精确的圆周率取值。

当然国内外也有大量挑战圆周率的选手通过周长逼近来求圆周率的,原理大致如下图:

阿基米德通过计算九十六变形得出了$π$在$3.1408$和$3.1429$之间,这在实际生活中已经完全够用了,圆周率的精确在更多的情况下是一种秀肌肉的行为。

此后的两千多年里,人们用这种方法不断把圆细分,到16世纪晚期,法国的弗朗索瓦·韦达把阿基米德的96边又细分了12倍,计算了正393216边形的周长。

这一记录直至17世纪被荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦打破,他花费了25年计算了正$2 ^{62}$的周长。

易得:

$$2 ^{62}=4,611,686,018,427,387,907$$

是的没错就是正4,611,686,018,427,387,907边形。他因此将$π$精确到了小数点后35位:
$$3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...$$
他对自己的这个成就感到非常自豪,以致这个数被刻在他的墓碑上;直到今天,德国人还常常称这个数为“鲁道夫数”。

20年后记录被克里斯多夫·格林伯格打破,记录被推进到了38位。

到目前为止,还都是平淡的列举与叙述,接下来该标题中的那个男孩儿出场了——艾萨克·牛顿爵士。

在家隔离

1666年,牛顿23岁,他因为黑死病的爆发在家隔离(相似的一幕),牛顿对一些简单式产生了兴趣,比如:

$(1+x) ^2=1+2x+x ^2$
$(1+x) ^3=1+3x+3x ^2+x ^3$
$(1+x) ^4=1+4x+6x ^2+4x ^3+x ^4$
$...$
之后他发现了一个捷径,无需复杂计算就能直接得到答案.

如果只看$x$的系数的话,它们就是帕斯卡三角形里的数字(也称杨辉三角),而这个三角形很好算,如果目前已知某一行,只要把相邻的两个数字相加,就得到了下一行的对应数.

最终人们得到了通用公式,这样就可以算出任意一行的数字,而不需要根据上一行的数字得出.
$$(1+x)^{n}=1+n x+\frac{n(n-1) x^{2}}{2 !}+\frac{n(n-1)(n-2) x^{3}}{3 !}+...$$
这就是二项式定理.

标准的二项式定理中$n \in \mathbb{Z} ^+$,很容易理解,这个公式就是算出$(1+x)$的若干次幂的展开式.
但牛顿想别管定义域,直接套公式,他试着将指数变成$-1$,即$\frac{1}{1+x}$,展开得到:
$$\frac{1}{(1+x)}=1-1 x+1 x^{2}-1 x^{3}+1 x^{4}-1 x^{5}+1 x^{6}-1 x^{7}+1 x^{8}-1 x^{9}+...$$
很奇妙啊,得到的竟然是$\frac{1}{1+x}$的无穷级数展开.
关于这个式子对不对,牛顿给了如下证明:
$$\frac{1}{1+x}(1+x)=(1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}+x^{8}-x^{9}+...)(1+x)=1$$

故他坚信二项式定理可以扩展到指数为负数的情况,接下来他试着将指数变成分数,比如$(1+x) ^{\frac{1}{2}}$,也就是说你在给$(1+x)$开平方跟.
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16} x^{3}-\frac{5}{128} x^{4}+...$$
又是一个无穷级数,我们可以借它来算$\sqrt3$,
$$\sqrt3=\sqrt{4-1}=\sqrt{4(1-\frac{1}{4})}=2\sqrt{(1-\frac{1}{4})}$$
将$x=\frac{1}{4}$代入$(1+x) ^{\frac{1}{2}}$,可以得到一个快速收敛的展开式,仅仅计算前几项就可以得到高精度的$\sqrt3$.

进入正题

牛顿对$n=\frac{1}{2}$的情况十分感兴趣,因为单位圆的方程是$x ^2+y ^2=1$.

进而可得到上半圆的方程是$y=(1-x ^2) ^{\frac{1}{2}}$.

这与他刚刚研究的二项展开有关,只要把$x$换成$x ^2$,现在他得到了有关于圆的公式:
$$\sqrt{1-x ^2}=1-\frac{1}{2} x ^2-\frac{1}{8} x^{4}-\frac{1}{16} x^{6}-\frac{5}{128} x^{8}-...$$
该怎么用这个求圆周率呢,幸运的是牛顿发明了微积分.

如果将曲线$[0,1]$这一段来积分就可以得到$\frac{1}{4}$圆面积,这里恰好是单位圆,即$\frac{π}{4}$.


容易得到:
$$\pi=4\left[x-\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{8} \frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{16} \frac{x^{7}}{7}-\frac{5}{128} \frac{x^{8}}{8}-. . .\right]_{0}^{1}$$
代入$x=2$即得圆周率,可精确到任意位数.

随后牛顿进一步调整,对$[0,\frac{1}{2}]$积分:

每个$x$都缩小一半,级数收敛速度就会乘上$x ^2$的若干倍.

此时积分面积是一个扇形及其下方的直角三角形.

那么:
$$\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{8} \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}-\frac{1}{16} \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\frac{5}{128}\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}-\ldots\right]$$
移项整理,得:
$${\pi}=12\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{8} \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}-\frac{1}{16} \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\frac{5}{128}\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}-\ldots-\frac{\sqrt{3}}{8}\right]$$
仅取前前五位,$\pi=3.14161$,误差仅为十万分之二,要达到鲁道夫的精度仅需计算上述级数的前五十项,数十年的计算量几天就可完成.

到这里好像有点降维打击的意思了,但现在距离牛顿时代也有数百年了,当然有更多先进算法涌现出来了.


  • 本文参考以下文献或资料:
维基百科-割圆术 (刘徽)
维基百科-Ludolph van Ceulen
YouTube-Veritasium-The Discovery That Transformed Pi
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